Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir hatten beim letzten Mal uns begonnen zu beschäftigen mit den Schnittreaktionen am

ebenen Balken und hatten als letztes ein Beispiel gesehen, bei dem man halt durch

Freischneiden von Teilen des Balkens und Ausnutzen der Gleichgewichtsbedingungen

die Schnittreaktionen, also Normalkraft, Querkraft und Momentenverlauf, bestimmen

kann als Funktion N, Q und M von X der Balkenkoordinate.

Außerdem hatte ich Ihnen beim letzten Mal auch schon gezeigt, durch Freischneiden eines

kleinen infinitesimalen Balkenstücks, dass es zwischen den Schnittgrößen, insbesondere

zwischen Moment und Querkraft, Beziehungen gibt, dass zum Beispiel gerade die Querkraft

die Ableitung des Momentes ist und genauso die Querkraft das Integral der negativen Streckenlast,

die streckenlast die negative Ableitung der Querkraft.

Und man kann jetzt diese differenziellen Beziehungen direkt ausnutzen, um die Streckenlasten zu

bestimmen und dazu schreibe ich aber diese differenziellen Beziehungen nochmal hin.

Und zwar jetzt nur für Querkraft und Moment. Und zwar galt ja, dass das Q von X gleich

minus Q Strich von X ist, also die Streckenlast in Querrichtung ist die negative Ableitung

der Querkraft bzw. umgekehrt. Daraus dann kann ich die Querkraft bestimmen, indem ich die

Streckenlast integriere. Und genauso war die Querkraft die Ableitung des Moments, hier

links mit plus, sodass das Moment das Integral der Querkraft ist. Diese Vorzeichen, die ich

hier habe, das minus hier, das plus dort, gelten nur, wenn ich diese Vorzeichenkonvention verwende,

so wie ich sie eingeführt habe. Also X in Längsrichtung, Z nach unten und dann diese

Konvention am positiven Schnittufer zeigen positive Schnittgrößen in positive Richtung.

Dann stimmt das, wenn ich das ändere, also wenn ich ein Linkshandsystem nehme oder nicht

die XZ-Ebene, sondern die XY-Ebene nehme, dann ändern sich hier die Vorzeichen. Da muss

man also sehr aufpassen, aber das muss man sich notfalls halt tatsächlich explizit nochmal

herleiten. Aber wenn ich mich sozusagen an die Konvention halte, kann ich so diese Vorzeichen

blind übernehmen. Denn genau für dieses ist es ja hergeleitet worden, also das gilt in

der XZ-Ebene. So, jetzt kann man mit Hilfe dieser differenziellen Beziehungen ebenfalls

sich die Querkraft und das Moment ausrechnen. Was man insbesondere dann macht, wenn die

Streckenlast nicht einen einfachen Verlauf hat, also nicht gerade konstant ist, sondern irgendeine

kompliziertere Funktion ist, dann ist das der elegantere Weg. Und das ist genau das

zweite Beispiel, indem man die Schnittgrößen aus Integration der Streckenlast bestimmt.

Und zwar sei wieder gegeben ein Balken auf zwei Stützen, hier bei A und B, und der sei

belastet durch eine Streckenlast, die jetzt hier irgendwie so eine Art Parabel-Forming-Verlauf

hat. Also wenn das hier die X-Koordinate ist, vom linken Rand ausgezeichnet, dann soll Q

von X gegeben sein als Funktion Q0 mal 2 mal X durch L minus X durch L zum Quadrat. Das

heißt für X gleich 0, also am linken Rand ist das 0, und für X gleich L habe ich hier

2 minus 1, ist gerade Q0, sodass Q0 auch hier sozusagen dieser Endwert hier ist. Aber das

interessiert mich eigentlich schon nicht mehr. Das heißt diese Funktion ist gegeben und ich

suche den Schnittkraftverlauf. Das könnte ich natürlich so machen, wie wir das beim

letzten Mal gemacht haben. Man bestimmt sich die Auflagereaktion, also schneidet frei. Da

muss ich um die Auflagereaktion zu bestimmen, irgendwie die Resultierende dieser Kraft erst

mal ausrechnen, dann den Schwerpunkt dieser Kraftverteilung, also den Angriffspunkt hier,

um die Hebelarme zu kennen, dann kann ich mir A und B ausrechnen, und im nächsten Schnitt

schneide ich das hier irgendwo an einer Stelle X durch, und dann muss ich mir für das abgeschnittene

Stück wieder die Resultierende und den Angriffspunkt ausrechnen, und das ist schon relativ aufwendig.

Das geht viel einfacher, wenn man jetzt das über diese Beziehung dort oben versucht zu lösen.

Und zwar, ich schneide das nochmal frei, das kann ich hier mal daneben zeigen, also das

Freikörperbild würde folgendermaßen aussehen, ich habe hier meine Streckenlast irgendwie,

so und jetzt habe ich hier meine Kraft B, und ich habe hier eine Kraft A, eigentlich muss ich

hier A vertikal und A horizontal einzeichnen, ich habe ja hier ein Festlager, so aber jetzt kann ich